命題
コンパクト空間のおけるフィルター(過去スレ006の75) Φ が
収束(過去スレ006の131)するためには、Φ が接触点(過去スレ006の132)を
ただ一つ持つことが必要十分である。

証明
条件が必要なことは >>319 から分かる。

Φ が接触点 x をただ一つ持つとする。
x のある近傍 V があり、Φ の任意の元 M に対して M ∩ (X - V) ≠ φ
とする。

Ψ_0 = { M ∩ (X - V) | M ∈ Φ } はフィルター基底(過去スレ006の77)
である。
Ψ_0 が生成するフィルターを Ψ とする。
即ち
Ψ = { N ⊂ X | M ⊂ N となる M ∈ Ψ_0 がある }

X はコンパクトだから Ψ は接触点 y をもつ。

Φ ⊂ Ψ だから y は Φ の接触点である。
即ち x = y である。
よって、V は x の近傍だから、N ∈ Ψ_0 なら N ∩ V ≠ φ である。
しかし、これは Ψ_0 の定義からあり得ない。

即ち、最初の仮定がおかしい。
よって、x の任意の近傍 V に対して Φ のある元 M があり、
M ⊂ V となる。
即ち、Φ は x に収束する。
証明終