定義
X をフィルター(過去スレ006の75) Φ のついた集合とする。
f を X から R~ = [-∞, ＋∞] への写像とする。
Φ は関係 ⊃ を ≦ とした場合に上向きの有向(>>140)である。

A ∈ Φ のとき g(A) = sup f(A) とする。
A ∈ Φ, B ∈ Φ で A ⊃ B なら g(A) ≧ g(B) である。
従って、g は Φ から R~ への単調減少関数である。

よって、>>316 より lim g が存在する。
これを f の Φ に関する上極限と言い、
lim.sup[Φ] f または lim.sup f と書く。

同様に f の Φ に関する下極限も定義され、
lim.inf[Φ] f または lim.inf f と書く。