命題
1 ≦ p ＜ +∞
a ≧ 0, b ≧ 0
のとき、
a^p + b^p ≦ (a + b)^p

証明
a, b は有限で a ＞ 0, b ＞ 0 と仮定してよい。

p ≧ 1 だから x → x^(p-1) は [0, +∞) で広義単調増加である。

0 ＜ a/(a + b) ＜ 1 だから
(a/(a + b))^(p-1) ≦ 1
よって、
a^p/(a + b)^p ≦ a/(a + b)

同様に
b^p/(a + b)^p ≦ b/(a + b)

よって
a^p/(a + b)^p + b^p/(a + b)^p ≦ a/(a + b) + b/(a + b) = 1
即ち
a^p + b^p ≦ (a + b)^p
証明終