命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の Cauchy 列とする。

(f_n) が f に a.e. に単純収束するなら f ∈ L^p(X, F) であり、
(f_n) は f に L^p(X, F) のノルム N_p に関して収束する。

証明
>>305 より、
(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と g ∈ L^p(X, F) が
存在し、(f_(n_k)) は a.e. に g に単純収束する。
さらに、(f_(n_k)) は g に L^p(X, F) のノルム N_p に関して
収束する。

従って、f = g (a.e.) である。

(f_n), n ≧ 1 は Cauchy 列だから (f_n) は f に L^p(X, F) の
ノルム N_p に関して収束する(>>306 の証明参照)。
証明終