定理
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
L^p(X, F) (>>299) はノルム N_p(>>298) に関して完備である。

証明
(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の Cauchy 列とする。

>>305より、(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と
f ∈ L^p(X, F) が存在し、(f_(n_k)) は f にノルム N_p に関して
収束する。

過去スレ006の248より、一様空間 の Cauchy フィルターの基底の
接触点は極限点である。

f は (f_n) で定まる Cauchy フィルターの接触点であるから、
(f_n) も f に収束する。
証明終