命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の Cauchy 列とする。

(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と f ∈ L^p(X, F) が
存在し、(f_(n_k)) は a.e. に f に単純収束する。

さらに、(f_(n_k)) は f に L^p(X, F) のノルム N_p に関して
収束する。

証明
(f_n), n ≧ 1 は L^p(X, F) の Cauchy 列だから、
(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 で、
N_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ＜ 1/2^k となるものがある。
ΣN_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ≦ Σ1/2^k = 1

f_(n_2) - f_(n_1) + f_(n_3) - f_(n_2) + ... + f_(n_(k+1)) - f_(n_k)
= f_(n_(k+1)) - f_(n_1)

>>302 より、f_(n_k) は X 上で a.e. に単純収束し、
その極限関数 f(x) は L^p(X, F) に属す。
さらに、f_(n_k) は f にノルム N_p に関して収束する。
証明終