命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。
f_n, n = 1, 2, . . . を L^p(X, F) (>>299) の関数列とする。

ΣN_p(f_n) ＜ +∞ なら
f(x) = Σf_n(x) は X 上で a.e. に絶対収束し、f ∈ L^p(X, f) である。

さらに、各 n ≧ 0 に対して、
N_p(f - (f_1 + . . . + f_n)) ≦ N_p(f_(n+1)) + N_p(f_(n+2)) + . . .

証明
g(x) = Σ|f_n(x)| とおく。
N_p の可算凸性(>>279)から、g ∈ L^p(X, R) で、
N_p(g) ≦ ΣN_p(|f_n|) = ΣN_p(f_n) ＜ +∞

従って過去スレ007の486より、g は a.e, に有限である。
g(x) ＜ +∞ となる X の任意の点 x に対して
h_n(x) = f_1(x) + . . . + f_n(x) とおくと、
任意の ε ＞ 0 に対して整数 N ＞ 0 があり
m ≧ N, p ≧ 1 なら
|h_(n+p)(x) - h_n(x)| = |f_(n+1)(x) + . . . + f_(n+p)(x)|
≦ |f_(n+1)(x)| + . . . + |f_(n+p)(x)| ＜ ε
よって、 (h_n(x)) は F における Cauchy 列である。
F は完備だから f(x) = Σf_n(x) は X 上で a.e. に絶対収束する。

(続く)