命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

E を (μ^*)-可測(過去スレ007の768)な集合で μ^*(E) ＜ +∞ とする。
E は内正則(>>19)である。
即ち、μ^*(E) = sup {μ^*(K) | K ⊂ E, コンパクト集合 K }

証明
任意の ε ＞ 0 に対して、E ⊂ U となる開集合 U で
μ^*(U) ＜ μ^*(E) + ε
となるものがある。

F ⊂ U となるコンパクト集合 F で
λ(F) ＞ μ^*(U) - ε
となるものがある。

>>29 より μ^*(F) ≧ λ(F)
よって μ^*(F) ＞ μ^*(U) - ε

μ^*(U - E) ＜ ε だから
U ⊃ V ⊃ U - E となる開集合 V で
μ^*(V) ＜ ε となるものがある。

K = F ∩ V^c とおく。
K はコンパクトで K ⊂ E

μ^*(E) - μ^*(K) = μ^*(E - K) = μ^*((E ∩ F^c) ∪ (E ∩ V))
≦ μ^*(U ∩ F^c) + μ^*(V) ＜ 2ε
よって、μ^*(K) ＞ μ^*(E) - 2ε
証明終