命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K(X) (過去スレ007の708) は L^p で稠密である。

証明
K(X) の任意の元 g に対して |g|^p ∈ K(X) であるから
g ∈ L^p である。

f を L^p の元とする。
>>291 より
任意の ε ＞ 0 に対して N_p(f - s) ＜ ε/2 となる
積分可能な単関数 s : X → (-∞, ＋∞) が存在する。

s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n, a_i ≠ 0,
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ
と書ける(s = 0 なら n = 1, a_1 = 1, E_1 = φ)。

M = sup {|a_1|, . . . , |a_n|} とおく。

μ(E_i) ＜ ＋∞ だから、
>>122 より、各 i で、
K_i ⊂ E_i ⊂ U_i
μ(U_i) - μ(K_i) ＜ (ε/2nM)^p
となるコンパクト集合 K_i と 開集合 U_i が存在する。
過去スレ007の706 より、
χ_(K_i) ≦ g_i ≦ χ_(U_i) となる g_i ∈ K+(X) がある。
g = Σ(a_i)g_i とおく。
明らかに g ∈ K+(X) である。

(続く)