命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X 上の積分可能な単関数(過去スレ007の298) s : X → (-∞, ＋∞)
全体 S は L^p で稠密である。

証明
f を L^p の元とする。
任意の ε ＞ 0 に対して N_p(f - s) ＜ ε となる s ∈ S が存在
することを言えばよい。

>>290 より f^(+) と f^(-) は L^p に属す。
f = f^(+) - f^(-) であるから、 f ≧ 0 と仮定してよい。

過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限値のみをとる単関数
s_n が存在する。
1) 0 ≦ s_1 ≦ s_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき s_n(x) → f(x)

f ∈ L^p だから s_n ∈ L^p である。
従って、s_n は積分可能である。

|f(x) - s_n(x)| ≦ |f(x)|
よって
|f(x) - s_n(x)|^p ≦ |f(x)|^p

Lebesgue の項別積分定理(過去スレ007の555)より

lim ∫[X] |f(x) - s_n(x)|^p dμ = 0
即ち
lim N_p(f- s_n) = 0
証明終