命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
L^p の任意の元 f に対して f^(+) と f^(-) は L^p に属す。
ここで、f^(+) = sup(f, 0), f^(-) = sup(-f, 0)

証明
定数関数 0 は L^p に属すから、>>289 から本命題が出るが、
次のようにしてもよい。

f(x) = f^(+)(x) - f^(-)(x)
|f(x)| = f^(+)(x) + f^(-)(x)
よって
f^(+) = (|f| + f)/2 ∈ L^p
f^(-) = (|f| - f)/2 ∈ L^p
証明終