定理
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
L^p (>>267) は L^p ノルム(>>268)に関して完備である。

証明
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。
>>284 より、(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と
f ∈ L^p が存在し、(f_(n_k)) は a.e. に f に単純収束する。

>>282 より f ∈ L^p であり、(f_(n_k)) は f に L^p 収束する。

過去スレ006の248より、一様空間 の Cauchy フィルターの基底の
接触点は極限点である。

f は (f_n) で定まる Cauchy フィルターの接触点であるから、
(f_n) も f に L^p 収束する。
証明終