命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。

(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 と f ∈ L^p(X) が存在し、
(f_(n_k)) は a.e. に f に単純収束する。

証明
(f_n), n ≧ 1 は L^p Cauchy 列だから、
(f_n), n ≧ 1 の部分列 (f_(n_k)), k ≧ 1 で、
N_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ＜ 1/2^k となるものがある。
ΣN_p(f_(n_(k+1)) - f_(n_k)) ≦ Σ1/2^k = 1

f_(n_2) - f_(n_1) + f_(n_3) - f_(n_2) + ... + f_(n_(k+1)) - f_(n_k)
= f_(n_(k+1)) - f_(n_1)

>>281 より、f_(n_(k+1))(x) - f_(n_1)(x) は X 上で a.e. に収束する。
よって、f_(n_(k+1))(x) は X 上で a.e. に収束する。
この極限を f(x) とすればよい。
証明終