命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
(f_n), n ≧ 1 を L^p Cauchy 列(>>278)とする。

f(x) = lim f_n(x) が X 上で a.e. に存在するなら、
f ∈ L^p(X) であり、
(f_n) は f に L^p 収束する(>>277)。

証明
任意の有限実数 ε ＞ 0 に対して、整数 N ≧ 0 があり、
n, m ≧ N なら ∫[X] |f_n - f_m|^p dμ ＜ ε^p となる。

m ≧ N となる m を固定する。

Fatou の補題(>>506)より、
∫[X] (lim inf |f_n - f_m|^p) dμ
≦ lim inf ∫[X] |f_n - f_m|^p dμ ≦ ε^p

lim inf |f_n - f_m|^p = lim |f_n - f_m|^p = |f - f_m|^p (a.e.)
だから
∫[X] |f - f_m|^p dμ ≦ ε^p
即ち
N_p(f - f_m) ≦ ε

よって、f - f_m ∈ L^p(X) である。
よって、f = f_m + f - f_m ∈ L^p(X) である。

m は m ≧ N となる任意の整数だから、
(f_n) は f に L^p 収束する。
証明終