命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
f_n, n = 1, 2, . . . を L^p (>>267) の関数列とする。

ΣN_p(f_n) ＜ +∞ なら
f(x) = Σf_n(x) は X 上で a.e. に絶対収束し、f ∈ L^p である。

さらに、各 n ≧ 0 に対して、
N_p(f - (f_1 + . . . + f_n)) ≦ N_p(f_(n+1)) + N_p(f_(n+2)) + . . .

証明
g(x) = Σ|f_n(x)| とおく。
N_p の可算凸性(>>279)から、g ∈ L^p で、
N_p(g) ≦ ΣN_p(f_n) ＜ +∞

従って過去スレ007の486より、g は a.e, に有限である。
即ち、f(x) = Σf_n(x) は a.e. に絶対収束する。
h_n(x) = f_1(x) + . . . + f_n(x) とおく。
|h_n(x)| ≦ |f_1(x)| + . . . + |f_n(x)| ≦ g(x)
よって |h_n(x)|^p ≦ g(x)^p

Lebesgue の項別積分定理(過去スレ007の555)より
lim ∫[X] |h_n(x)|^p dμ = ∫[X] |f|^p dμ ≦ ∫[X] |g|^p dμ
よって
f ∈ L^p である。

|f(x) - (f_1(x) + . . . + f_n(x))|
≦ |f_(n+1)(x)| + |f_(n+2)(x)| + . . .

よって、N_p の可算凸性(>>279)から、
N_p(f - (f_1 + . . . + f_n)) ≦ N_p(f_(n+1)) + N_p(f_(n+2)) + . . .
証明終