定理(N_p の可算凸性)
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
f_n ≧ 0, n = 1, 2, . . . を L^p (>>267) の関数列とする。

ΣN_p(f_n) ＜ +∞ なら Σf_n ∈ L^p で
N_p(Σf_n) ≦ ΣN_p(f_n)

証明
f = Σf_n
g_n = f_1 + . . . + f_n
とおく。

0 ≦ g_1 ≦ g_2 ≦ . . . ≦ f
で、
f = lim g_n
である。

従って、
0 ≦ (g_1)^p ≦ (g_2)^p ≦ . . . ≦ f^p
で、
f^p = lim (g_n)^p
である。

よって、Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より、
n → ∞ のとき ∫[X] (g_n)^p dμ → ∫[X] f^p dμ

(続く)