命題(Minkowski の不等式)
(X, Φ, μ) を任意の測度空間(過去スレ007の317) とする。
p ≧ 1 を実数とする。
f ∈ L^p, g ∈ L^p のとき f + g ∈ L^p であり、
N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g)

証明
p = 1 のときは |f(x) + g(x)| ≦ |f(x)| + |g(x)| から
N_1(f + g) ≦ N_1(f) + N_1(g) は明らかである。

p ＞ 1 とする。
>>273 より |f + g| ∈ L^p である。

1/p + 1/q = 1 となる q がある。
pq = p + q だから q(p - 1) = p である。
従って、|f + g|^(p-1) ∈ L^q である。

Hoelder の不等式(>>269)より、
∫|f + g|^p dμ ≦ ∫|f||f + g|^(p-1) dμ + ∫|g||f + g|^(p-1) dμ
≦ N_p(f)N_q(|f + g|^(p-1)) + N_p(g)N_q(|f + g|^(p-1))

N_q(|f + g|^(p-1)) = (∫|f + g|^p dμ)^(1/q) = 0 のとき、
N_p(f + g) = 0 だから
N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g) は明らかである。

よって、N_q(|f + g|^(p-1)) ≠ 0 とする。
上の不等式の両辺を
N_q(|f + g|^(p-1)) = (∫|f + g|^p dμ)^(1/q) で割ると、
N_p(f + g) ≦ N_p(f) + N_p(g) となる。
証明終