命題
実数体 R の(有限または無限)開区間 I で定義された(有限な)実数値関数
f(x) が I で２回微分可能であり、
I の任意の点 x で f^(2)(x) ≧ 0 であれば f(x) は凸(>>270)である。
I の任意の点 x で常に f^(2)(x) ＞ 0 であれば f(x) は
狭義に凸(>>270)である。
ここで、f^(2)(x) は f(x) の２次導関数である。

証明
f^(2)(x) ≧ 0 だから f'(x) は単調増加である。
I に属する任意の２点 a, b, a ＜ b と
t + s = 1 となる任意の実数 t ＞ 0, s ＞ 0 に対して
x = ta + sb とおく。
平均値の定理より、
(f(x) - f(a))/(x - a) = f'(ξ) となる ξ, a ＜ ξ ＜ x が存在する。
よって、(f(x) - f(a))/(x - a) ≦ f'(x)
同様に、
(f(b) - f(x))/(b - x) = f'(η) となる η, x ＜ η ＜ b が存在する。
よって、(f(b) - f(x))/(b - x) ≧ f'(x)
f(a) ≧ f(x) + f'(x)(a - x)
f(b) ≧ f(x) + f'(x)(b - x)

これより、
tf(a) + sf(b) ≧ (t + s)f(x) + (t(a - x) + s(b - x))f'(x)
t(a - x) + s(b - x) = ta + sb - (t + s)x = x - x = 0 だから
tf(a) + sf(b) ≧ f(x)
よって f(x) は凸である。

I の任意の点 x で常に f^(2)(x) ＞ 0 なら、
f'(x) は狭義単調増加であるから、
tf(a) + sf(b) ＞ f(x) となり f(x) は狭義に凸である。
証明終