命題(Hoelder の不等式)
(X, Φ, μ) を任意の測度空間(過去スレ007の317) とする。

p と q を
p ＞ 1, q ＞ 1, 1/p + 1/q = 1
となる実数とする。

f ∈ L^p, g ∈ L^q のとき
fg ∈ L^1 であり、

N_1(fg) ≦ N_p(f)N_q(g)

証明
N_p(f) = 0 または N_q(g) = 0 なら過去スレ007の617より、
f = 0 (a.e.) または g = 0 (a.e.) である。
従って、N_p(f) ≠ 0 または N_q(g) ≠ 0 と仮定してよい。

a = |f(x)|/N_p(f)
b = |g(x)|/N_q(g)
とおくと、>>266 より

|f(x)g(x)|/N_p(f)N_q(g)
≦ (1/p)|f(x)|^p/N_p(f)^p + (1/q)|g(x)|^q/N_q(g)^q

よって、
(∫[X] |fg| dμ)/N_p(f)N_q(g)
≦ 1/p + 1/q = 1
即ち
∫[X] |fg| dμ ≦ N_p(f)N_q(g)
即ち
N_1(fg) ≦ N_p(f)N_q(g)
証明終