補題
p と q を
p ＞ 1, q ＞ 1, 1/p + 1/q = 1
となる実数とする。

a ≧ 0, b ≧ 0 を任意の実数とすると、
ab ≦ (a^p)/p + (b^q)/q

証明
a または b が 0 のときは明らかである。
a ＞ 0, b ＞ 0 と仮定してよい。

x ≧ 0 のとき
(1/p)x^p + 1/q ≧ x

x = a(b^(-q/p)) とおくと、
(1/p)(a^p)b^(-q) + 1/q ≧ a(b^(-q/p))

両辺に b^q を掛けると、

(1/p)(a^p) + (b^q)/q ≧ a(b^(q - q/p)) = ab
証明終