命題(Egoroff の定理の Radon 測度版)
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

f_n, n = 1, 2, . . . は X から距離付け可能な空間 F への
可測写像(>>176)の列であり、f = lim f_n が局所 a.e. (>>238) に
存在するとする。
即ち、局所零集合(>>58) N があり、X - N において f = lim f_n とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる任意の可測集合とする。
このとき、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
各 f_n は K で連続であり、K において (f_n) は f に一様に収束する。

さらに、N において任意の仕方で定義した f は可測である。

証明
d を F の位相と両立する距離とする。

>>254 より、任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε/4 となるコンパクト集合 K が存在し、
各 f_n は K で連続となる。

各 n ＞ 0 に対して、
A_(n, k) = {x ∈ K - N | d(f(x), f_k(x)) ≦ 1/2^n}
B_(n, m) = ∩A_k, k ≧ m
とおく。
B_(n, 1) ⊂ B_(n, 2) ⊂ . . .
局所 a.e. に f = lim f_n だから、
K_0 - N = ∪B_(n, m), m = 1, 2, . . .
である。
(続く)