命題
X を局所コンパクト空間とし、
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

X の任意の開集合は (μ^*)-可測(過去スレ007の768)である。

証明(Hewitt-Roth)
V を開集合とし、U を開集合で μ^*(U) ＜ +∞ とする。

μ^*(U ∩ V^c) の定義から、
任意の ε ＞ 0 に対して、U ∩ V^c ⊂ H となる開集合があり、
μ^*(H) ＜ μ^*(U ∩ V^c) + ε

>>24 から W~ ⊂ U ∩ V となる開集合があり、
μ^*(W) ＞ μ^*(U ∩ V) - ε

W_0 = U ∩ H ∩ (W~)^c とおく。
U ∩ V^c ⊂ W_0 ⊂ H より |μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ ε
|μ^*(W) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ ε であるから
|μ^*(W) + μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V) - μ^*(U ∩ V^c)| ＜ 2ε

よって
μ^*(W) + μ^*(W_0) - μ^*(U ∩ V) - μ^*(U ∩ V^c) ＞ -2ε

W ∩ W_0 = φ だから >>15 の (5) より
μ^*(U) ≧ μ^*(W ∪ W_0) = μ^*(W) + μ^*(W_0)
≧ μ^*(U ∩ V) + μ^*(U ∩ V^c) - 2ε
ε は任意だから
μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ V) + μ^*(U ∩ V^c)
>>23 より V は (μ^*)-可測である。
証明終