命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f を X から位相空間 F への可測写像(>>176)とする。

F の閉集合の f による逆像は可測集合になる。
F の開集合の f による逆像は可測集合になる。

証明
A を f の閉集合とする。

>>178 より、
K を任意のコンパクト集合としたとき、
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n) で K - N = ∪K_n で、 i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ となる
ものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。

f^(-1)(A) ∩ K = (N ∩ f^(-1)(A)) ∪ (K_n ∩ f^(-1)(A))
各 K_n ∩ f^(-1)(A) は閉集合だから可測である。
N ∩ f^(-1)(A) は零集合である。
従って、f^(-1)(A) ∩ K は可測である。
>>57 より f^(-1)(A) は可測である。

F の開集合 U に対して、F - U は閉集合だから
X - f^(-1)(U) = f^(-1)(F - U)
は可測である。
X は開集合であり可測だから、f^(-1)(U) も可測である。
証明終