命題
X を局所コンパクト空間とし、λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。
任意の開集合 U に対して
μ^*(U) = sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U }
ここで、V~ は V の閉包である。

証明
>>20 から μ^*(U) = λ(U) である。
V は開集合で V~ はコンパクトなら過去スレ007の849より
λ(V) ≦ λ(V~) である。
よって、
μ^*(U) ≧ sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U }

定義から λ(U) = sup {λ(K) | K はコンパクトで K ⊂ U } である。
λ(U) = ＋∞ なら、任意の M ＞ 0 に対して
λ(K) ＞ M となるコンパクトな K ⊂ U がある。

過去スレ007の704より
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが
存在する。
λ(V) ≧ λ(K) ＞ M で M ＞ 0 は任意だから、
sup {λ(V) | V は開集合で V~ はコンパクトで V~ ⊂ U } = +∞
よって、この場合は命題が成り立つ。

λ(U) ＜ ＋∞ なら、任意の ε ＞ 0 に対して
λ(U) - ε ＜ λ(K) となるコンパクトな K ⊂ U がある。
過去スレ007の704より
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ がコンパクトとなるものが
存在する。
λ(U) - ε ＜ λ(K) ≦ λ(V) だから、この場合も命題が成り立つ。
証明終