命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とし、
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

X の部分集合 E が (μ^*)-可測(過去スレ007の768)であるためには
任意の開集合 μ^*(U) ＜ +∞ に対して

μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)

となることが必要十分である。

証明
必要性は明らかである。

A を X の任意の部分集合とする。
μ^*(A) = +∞ なら
μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c) である。

μ^*(A) ＜ +∞ なら

A ⊂ U で μ^*(U) ＜ +∞ となる任意の開集合 U に対して、
μ^*(U) ≧ μ^*(U ∩ E) + μ^*(U ∩ E^c)
≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)

>>20 より μ^*(U) = λ(U) だから
λ(U) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)

μ^*(A) = inf λ(U) だから
μ^*(A) ≧ μ^*(A ∩ E) + μ^*(A ∩ E^c)
証明終