命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。

A ⊂ Y で A は X のあるコンパクト集合 K に含まれるとする。
A の ν-外測度(>>17)と μ-外測度は一致し、
A の ν-内測度(>>60)と μ-内測度も一致する。

証明
ν^*(A) と μ^*(A) をそれぞれ A の ν-外測度と μ-外測度とする。
ν^*(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>228 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν^*(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν^*(A) ≦ μ^*(A) である。

E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν^*(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。
>>221 より ν^*(A) = μ^*(A)

他方、>>202 より H ⊂ Y ∩ K をコンパクト集合とすると、
μ(H) = ν(H)

A の ν-内測度と μ-内測度が一致することは、これから明らかである。
証明終