命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)で、
Y は可算個のコンパクト集合の合併に含まれるとする。
ν を >>217 と同じ Y 上の Radon 測度とする。
A ⊂ Y が ν-可測なら A は μ-準可測(>>61)である。

証明
A ⊂ Y が ν-可測であるとする。
μ^* を L から誘導された外測度(>>36)とする。

>>56 より ν は準正則である。
よって、ν(A) = inf { ν(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
一方、μ^*(A) = inf { μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }

A ⊂ U となる開集合 U に対して、
>>215 より ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U)
ν(A) ≦ ν(Y ∩ U) = μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)
よって ν(A) ≦ μ^*(A) である。

E = Y ∩ U は μ-可測だから
任意の ε ＞ 0 に対して、
A ⊂ E
μ(E) - ν(A) ＜ ε
となる μ-可測集合 E がある。

>>221 より ν(A) = μ^*(A)

他方、>>107 より A は μ-内正則である。
A の μ-内測度は >>215 より ν(A) である。
よって、A は μ-準可測である。
証明終