命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
>>186 より Y は局所コンパクトである。

Y が可算個のコンパクト集合の合併に含まれるなら
μ|Y (>>204) は準正則(>>40)である。

証明
>>187 により B(Y) ⊂ B(X) だから μ|Y は B(Y) で定義される。

μ|Y が外正則なことは >>208 の証明と同様である。

E を Y の任意の開集合としたとき E が μ|Y に関して内正則である
ことを示せばよい。
Y ⊂ ∪K_n となるコンパクト集合の列 K_n, n = 1, 2, . . .がある。

E_n = E ∩ K_n とおくと
E = ∪E_n となる。
各 μ(E_n) ＜ +∞ だから E は
σ-有限(過去スレ007の448)な測度をもつ。
従って、>>107 より E は μ に関して内正則(>>19)である。

K ⊂ E となる X のコンパクト集合 K は Y においてもコンパクト
である。
従って、E は μ|Y に関しても内正則である。
証明終