命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X のコンパクトとする。
μ|Y (>>204) は準正則(>>40)である。

証明
E を Y の任意の開集合とする。
E は μ-可測であり、μ(E) ＜ +∞
従って、>>70 より E は μ に関して内正則(>>19)である。
即ち、
μ(E) = sup {μ(K) | K ⊂ E, K はコンパクト }

従って、E は μ|Y に関して内正則である。

A を Y に含まれる μ-可測集合とする。
U を A ⊂ U となる X の開集合とすると、
A ⊂ Y ∩ U だから μ(A) ≦ μ(Y ∩ U) ≦ μ(U)

もちろん、μ は外正則だから、
μ(A) = inf {μ(U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }
= inf { μ(Y ∩ U) | A ⊂ U, U は X の開集合 }

即ち、A は μ|Y に関してても外正則である。

以上から μ|Y は準正則である。
証明終