命題
X を局所コンパクト

命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
Y を X の局所閉集合(>>182)とする。

g ∈ K(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を e(g) と書こう。
>>198 より e(g) は可積分である。

K ⊂ Y をコンパクト集合とすると、
μ(K) = inf { ∫[X] e(g) dμ | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }

証明
>>199 より
Y において
χ_K = inf { g ∈ K+(Y) | χ_K ≦ g }

よって
X において
χ_K = inf { e(g) | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }

{ e(g) | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) } は下に有向で、各 e(g) は
>>196 より上半連続(>>188)である。

>>200 より
∫[X] χ_K dμ = inf {∫[X] e(g) dμ | χ_K ≦ g, g ∈ K+(Y) }

∫[X] χ_K dμ = μ(K) だから命題が得られる。
証明終