命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。

H を X 上の [0, +∞) に値をとる
可積分かつ上半連続関数(>>188)の下向きの有向集合(>>140)で、
空でないものとする。

g = inf { f | f ∈ H } は可積分で、
∫[X] g dμ = inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }

証明
H の任意の元 f_0 をとり、 H を { f ∈ H | f ≦ f_0 } で
置き換えてよい。
即ち、H に最大元 f_0 があると仮定してよい。

>>193 より、f_0 ≦ h となる可積分な下半連続関数 h が存在する。
G = { h - f | f ∈ H }
とおく。
G の元 h - f ≧ 0 は下半連続関数であり、
G は上向きの有向集合である。

sup { h - f | f ∈ H } = h - g

>>144 より
∫[X] (h - g) dμ = sup { ∫[X] (h - f) dμ | f ∈ H } となる。
よって、
∫[X] h dμ - ∫[X] g dμ
= ∫[X] h dμ - inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }

よって
∫[X] g dμ = inf {∫[X] f dμ | f ∈ H }
証明終