補題
X を局所コンパクト空間とし、Y を X の局所閉集合(>>182)とする。
g ∈ K+(Y) (過去スレ007の708) に対して
Y では g に等しく X - Y では 0 に等しい関数を h とする。

h は上半連続(>>188)である。

証明
a を X の点とする。
c ＞ h(a) となる任意の有限実数 c をとる。
h(a) ≧ 0 だから c ＞ 0 である。

a ∈ X - Supp(h) なら a の近傍 U で U ⊂ X - Supp(h)
となるものがある。
x ∈ U のとき h(x) = 0 だから c ＞ h(x)

a ∈ Supp(h) なら g は a で連続だから
a の近傍 U で x ∈ U ∩ Y なら c ＞ h(x) となるものがある。
x ∈ U - Y なら h(x) = 0 だから c ＞ h(x) である。
以上から h は上半連続である。
証明終