命題
X を位相空間とし、Y を X の Borel 集合(過去スレ007の212)とする。
X の Borel 集合全体を B(X) と書く。
Y を位相空間とみて、その Borel 集合全体を B(Y) と書く。

このとき、
B(Y) = { E ⊂ Y | E ∈ B(X) }

証明
Ω を X の開集合全体とする。
Ω を含む最小のσ-集合環(過去スレ007の197)を S(Ω) と書いた(>>94)。
B(X) = S(Ω) である。

>>95 より
S(Ω) ∩ Y = S(Ω ∩ Y) である。

Ω ∩ Y は Y の開集合全体だから B(Y) = S(Ω ∩ Y) である。
Y は Borel 集合だから S(Ω) ∩ Y = { E ⊂ Y | E ∈ B(X) }
証明終