命題
局所コンパクト空間 X の局所閉集合(>>182) A は
局所コンパクトである。

証明
A の各点 x ∈ A に対して x の近傍 V が存在し、
A ∩ V が V の閉集合となる。
x の X におけるコンパクト近傍 W ⊂ V をとる。
x の A における近傍 A ∩ W = (A ∩ V) ∩ W は
W の閉集合だからコンパクトである。
証明終