命題(Egoroff の定理の Radon 測度版)
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とする。
f_n, n = 1, 2, . . . は E から [-∞, +∞] への可測関数の列であり、
a.e. に有限であるとする。
f = lim f_n が a.e. に存在し、f は a.e. に有限であるとする。

任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E, μ(E - K) ＜ ε
となるコンパクト集合 K が存在し、
K において f_n は f に一様に収束する。

証明
>>171 より
任意の ε ＞ 0 に対して可測集合 F で、
F ⊂ E
μ(E - F) ＜ ε/2
となるものが存在し、
F において f_n は f に一様に収束する。

>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より F は内正則である。
K ⊂ F
μ(F - K) ＜ ε/2
となるコンパクト集合 K が存在する。

E - K = (E - F) ∪ (F - K)
μ(E - K) = μ(E - F) + μ(F - K) ＜ 2ε
よって K が求めるものである。
証明終