補題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。

E を μ(E) ＜ +∞ となる可測集合とし、
f を E 上の可測な単関数(過去スレ007の298) X → (-∞, ＋∞) とする。

任意の ε ＞ 0 に対して K ⊂ E
μ(E - K) ＜ ε となるコンパクト集合 K が存在し、
f は K で連続となる。

証明
f = Σ(α_i)χ_(E_i), i = 1, . . ., n とする。
ここで、E = ∪E_i, i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。

>>56 より μ は準正則(>>37)である。
よって、>>73 より各 E_i は内正則である。

よって、任意の ε ＞ 0 に対して、
K_i ⊂ E_i, μ(E_i) - μ(K_i) ＜ ε/n
となるコンパクト集合 K_i がある。

K = ∪K_i とおく。
μ(E - K) = Σμ(E_i - K_i) ＜ ε

f の各 K_i への制限は定数なので連続である。
過去スレ007の705より
f の K = ∪K_i への制限は連続である。
証明終