命題(Egoroff の定理)
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X ∈ Φ で μ(X) ＜ +∞ とする。

f_n, n = 1, 2, . . . は X から [-∞, +∞] への可測関数の列であり、
a.e. に有限であるとする。
f = lim f_n が a.e. に存在し、f は a.e. に有限であるとする。

任意の ε ＞ 0 に対して E ∈ Φ が存在し、
μ(X - E) ＜ ε
E において f_n は f に一様に収束する。

証明
>>170 より 各整数 n ＞ 0 に対して、整数 k_n ＞ 0 と
H_n ∈ Φ があり、
μ(H_n) ＜ ε/2^n
k ≧ k_n なら、すべての x ∈ X - H_n で |f(x) - f_k(x)| ＜ 1/2^n

E = X - ∪H_n とおく。
μ(X - E) = μ(∪H_n) ≦ Σμ(H_n) ＜ ε

x ∈ E なら x ∈ ∩(X - H_n) だから、任意の n に対して、
k ≧ k_n なら、|f(x) - f_k(x)| ＜ 1/2^n
証明終