補題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317)とする。
X ∈ Φ で μ(X) ＜ +∞ とする。

f_n, n = 1, 2, . . . は X から (-∞, +∞) への可測関数の列であり、
f = lim f_n が存在し、f も各点で有限であるとする。

任意の ε ＞ 0 と δ ＞ 0 に対して整数 n と H ∈ Φ があり
μ(H) ＜ δ
k ≧ n なら、すべての x ∈ X - H で |f(x) - f_k(x)| ＜ ε

証明
A_k = {x ∈ X | |f - f_k| ＜ ε}
B_n = ∩A_k, k ≧ n
とおく。

B_n ∈ Φ であり、
B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . .
X = ∪B_n
である。

μ(X) = lim μ(B_n) だから
μ(X) - μ(B_n) ＜ δ となる n がある。

よって
H = X - B_n とおけばよい。
証明終