命題
μ を局所コンパクト空間 X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K(X) (過去スレ007の708)の 元の列 (f_n), n =1, 2, . . . があり、
n → +∞ のとき ∫^*[X] |f - f_n| dμ → 0
となるとする。

このとき f はある可積分関数 g と a.e. に一致する。

証明
任意の ε ＞ 0 に対して、n_0 があり、
n ≧ n_0 なら
∫^*[X] |f - f_n| dμ ＜ ε
となる。

>>161 より f - f_n は a.e. に有限である。
よって f は a.e. に有限である。

よって、 n ≧ n_0, m ≧ n_0 なら
|f_n - f_m| = |f_n _ f + f - f_m| ≦ |f_n _ f| + |f - f_m| (a.e.)

よって、
∫[X] |f_n - f_m| dμ
≦ ∫^*[X] |f - f_n| dμ + ∫^*[X] |f - f_m| dμ ＜ 2ε

即ち、(f_n) は L^1 Cauchy 列(過去スレ007の629)である。
(続く)