命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

(f_n), n =1, 2, . . . を X から [0, +∞] への関数の列とする。

このとき、
∫^*[X] Σf_n dμ ≦ Σ ∫^*[X] f_n dμ

証明
f = Σf_n とおき、
g_n = f_1 + . . . + f_n とおく。

g_1 ≦ g_2 ≦ . . .
f = sup (g_n) である。

>>150 より
∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] g_n dμ
≦ sup (∫^*[X] f_1 dμ + . . . + ∫^*[X] f_n dμ)
= Σ ∫^*[X] f_n dμ
証明終