命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

f : X → [0, +∞] を任意の可測関数とする。

∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
である。

証明
過去スレ007の304より
次の条件を見たす可測で有限な単関数(過去スレ007の298)
s_n が存在する。

1) 0 ≦ s_1 ≦ s_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき s_n(x) → f(x)

>>156 より、∫^*[X] s_n dμ = ∫[X] s_n dμ である。

Lebesgue の単調収束定理(過去スレ007の445)より
∫[X] f dμ = sup ∫[X] s_n dμ

>>150 より
∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] s_n dμ = sup ∫[X] s_n dμ

よって
∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
証明終