命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。
A と B を可測集合で A ∩ B ≠ φ, α ≧ 0, β ≧ 0 を実数とする。
このとき、∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = αμ(A) + βμ(B)

証明
>>149 と >>152 より
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ
≦ α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ
= αμ(A) + βμ(B)
よって、逆向きの不等式
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
を証明すればよい。

αχ_A + βχ_B ≧ βχ_B だから
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ ∫^*[X] βχ_B dμ
よって、α = 0 または μ(A) = 0 なら命題は成り立つ。
同様に、β = 0 または μ(B) = 0 なら命題は成り立つ。
α ＞ 0, μ(A) = +∞ なら、
αχ_A + βχ_B ≦ f となる任意の f ∈ I+(X) に対して
αχ_A ≦ f だから
∫^*[X] αχ_A dμ ≦ ∫^*[X] f dμ = ∫[X] f dμ
>>152 より ∫^*[X] αχ_A dμ = αμ(A) = +∞
よって ∫[X] f dμ = +∞
よって ∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = +∞
この場合も命題は成り立つ。
同様に β ＞ 0, μ(B) = +∞ なら命題は成り立つ。
以上から、μ(A) ＞ 0, μ(B) ＞ 0, α ＞ 0, β ＞ 0 の場合に
命題を証明すればよい。
(続く)