補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

A と B をコンパクト集合で A ∩ B ≠ φ
μ(A) ＞ 0, μ(B) ＞ 0 とする。
α ＞ 0, β ＞ 0 を実数とする。

∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ = αμ(A) + βμ(B)

証明
>>149 より
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ
≦ α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ

>>152 より、
α∫^*[X] χ_A dμ + β∫^*[X] χ_B dμ = αμ(A) + βμ(B)
よって、
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≦ αμ(A) + βμ(B)

よって、逆向きの不等式
∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ ≧ αμ(A) + βμ(B)
を証明すればよい。

A ⊂ U_0, B ⊂ V_0, U_0 ∩ V_0 ≠ φ となる開集合 U_0, V_0 がある。
任意の ε ＞ 0 をとる。
f ∈ I+(X) で αχ_A + βχ_B ≦ f
∫[X] f dμ ＜ ∫^*[X] (αχ_A + βχ_B) dμ + ε
となるものがある。
(続く)