命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

f_1 ≦ f_2 ≦ . . . を X から [0, +∞] への関数の単調増加列とする。
f = sup (f_n) とおく。

∫^*[X] f dμ = sup ∫^*[X] f_n dμ

証明
∫^*[X] f dμ ≦ sup ∫^*[X] f_n dμ を証明すればよい。
したがって、sup ∫^*[X] f_n dμ ＜ +∞ と仮定してよい。
任意の ε ＞ 0 を固定する。

∫[X] h_n dμ ＜ ∫^*[X] f_n dμ + ε/2^n
f_n ≦ h_n
となる h_n ∈ I+(X) がある。

g_n = sup(h_1, . . ., h_n) とおく。

g_n ≧ f_n, h_(n+1) ≧ f_(n+1) ≧ f_n より
inf(g_n, h_(n+1)) ≧ f_n

inf(g_n, h_(n+1)) + sup(g_n, h_(n+1)) = g_n + h_(n+1)
であるから、

∫[X] g_(n+1) dμ = ∫[X] sup(g_n, h_(n+1)) dμ
= ∫[X] g_n dμ + ∫[X] h_(n+1) dμ - ∫[X] inf(g_n, h_(n+1)) dμ
≦ ∫[X] g_n dμ + ∫[X] h_(n+1) dμ - ∫^*[X] f_n dμ
≦ ∫[X] g_n dμ + ∫^*[X] f_(n+1) dμ - ∫^*[X] f_n dμ + ε/2^(n+1)
(続く)