命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

H を I+(X) (>>119) の空でない部分称号とし、
関係 f ≦ g に関して上向きの有向集合(>>140)となっているとする。

f = sup { g | g ∈ H } とおくと、
∫[X] f dμ = sup { ∫[X] g dμ | g ∈ H } となる。

証明
>>116 より f ∈ I+(X) である。

g ∈ H に対して Φ_g = { ψ ∈ K+(X) | ψ ≦ g } とおき、
Φ = ∪{ Φ_g | g ∈ H } とおく。

ψ_1, ψ_2 ∈ Φ とし、ψ_1 ≦ g_1, ψ_2 ≦ g_2 とする。
ここで、g_1 ∈ H, g_2 ∈ H
H は有向集合だから、g_1 ≦ g, g_2 ≦ g となる g ∈ H がある。
ψ_1 ≦ g, ψ_2 ≦ g となるから、sup(ψ_1, ψ_2) ≦ g である。
sup(ψ_1, ψ_2) ∈ K+(X) だから sup(ψ_1, ψ_2) ∈ Φ である。
よって、Φ は有向集合である。

f = sup { g | g ∈ H } であるから、
x ∈ X と任意の ε ＞ 0 に対して、
f(x) - ε ＜ g(x) となる g ∈ H がある。

>>120 より、f(x) - ε ＜ ψ(x) ≦ g(x) となる ψ ∈ Φ_g がある。
よって f = sup{ ψ | ψ ∈ Φ }
(続く)