命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。

L を上向きの有向集合(>>140)とする。
(f_λ), λ ∈ L を K+(X) (過去スレ007の713) の元の族とし、
λ ≦ μ のとき f_λ ≦ f_μ とする。

f = sup { f_λ | λ ∈ L } ∈ K+(X) のとき
L(f) = sup { L(f_λ) | λ ∈ L } となる。

証明
K = Supp(f) (過去スレ007の671) とおく。

f(x) = 0 なら f_λ(x) = 0 だから
Supp(f_λ) ⊂ K である。

過去スレ007の717より、
K のみによって決まる定数 M ≧ 0 が存在し、
Supp(f) ⊂ K なら

|L(f)| ≦ M|f|_b
ここで、|f|_b は f のノルムである(過去スレ007の712)。

Dini の定理(>>141) より
任意の実数 ε ＞ 0 に対して λ ∈ L があり、
λ ≦ μ のとき任意の x ∈ K に対して
f(x) - f_μ(x) ＜ ε である。
よって、
L(f) - L(f_μ) = L(f - f_μ) ≦ M|f - f_μ|_b ≦ ε
証明終