定理(Dini の定理)
X をコンパクト空間とする。
L を上向きの有向集合(>>140)とする。
(f_λ), λ ∈ L を K(X) (過去スレ007の708) の元の族とし、
λ ≦ μ のとき f_λ ≦ f_μ とする。

f = sup {f_λ | λ ∈ L } ∈ K(X) のとき
(f_λ) は f に一様収束する(>>138)。
同様に g = inf {f_λ | λ ∈ L } ∈ K(X) のとき
(f_λ) は g に一様収束する(>>138)。

証明
λ ∈ L のとき L(λ) = {μ ∈ L | λ ≦ μ ｝とおく。
L は上向きの有向集合だから L(λ) 全体は L のフィルターの基底となる。

任意の実数 ε ＞ 0 を固定する。
任意の x ∈ X に対して f(x) - ε ＜ f_(λ_x)(x) となる
λ_x ∈ L がある。
V_x = {y ∈ X | f(y) - ε ＜ f_(λ_x)(y) } とおく。
V_x は x を含む開集合である。

X はコンパクトだから x_1, . . ., x_n ∈ X があって、
X = ∪V_(x_i), i = 1, 2, . . ., n となる。
L は上向きの有向集合だから、
sup(λ_(x_1), . . ., λ_(x_n)) ≦ λ となる λ ∈ L がある。
任意の x ∈ X に対して x ∈ V_(x_i) となる i がある。
f(x) - ε ＜ f_(λ_(x_i))(x) ≦ f_λ(x)
λ ≦ μ のとき f_λ ≦ f_μ だから f(x) - ε ＜ f_μ(x) である。
よって (f_λ) は f に一様収束(>>138)する。

同様に (f_λ) は g に一様収束する。
証明終