Riesz の表現定理(>>50)の別証

定理(Riesz の表現定理)
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

任意の f ∈ K(X) (過去スレ007の708) に対して
L(f) = ∫[X] f dμ となる。

証明
>>131 より f ∈ K+(X) のとき、L(f) = ∫[X] f dμ となる。

f ∈ K(X) のとき。

f^(+) = sup{f, 0}
f^(-) = sup{-f, 0}
とおくと、
f^(+) ∈ K+(X)
f^(-) ∈ K-(X)

f = f^(+) - f^(-) と分解すれば、

∫[X] f dμ = ∫[X] f^(+) dμ - ∫[X] f^(-) dμ
= L(f^(+)) - L(f^(-)) = L(f^(+) - f^(-)) = L(f)
証明終