>>112 の別証
(Riesz の表現定理(>>50)を使わないのでこちらのほうが優れている)

命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

U を X の開集合とする。

μ(U) = sup{L(f) | 0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ U}

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。
証明
μ(U) = +∞ のとき。

>>56 より μ は準正則(>>40)だから、
任意の c ＞ 0 に対して K ⊂ U, c ＜ μ(K) となるコンパクト集合が
ある。
過去スレ007の706 より、
K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V でその閉包 V~ がコンパクトとなる
ものがあり、
χ_K ≦ f ≦ χ_V~ ≦ χ_U
となる連続関数 f がある。

μ(K) ≦ L(f) ≦ μ(V~) ≦ μ(U)
よって
0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ V~ ⊂ U
c ＜ L(f)
よって、
sup{L(f) | 0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X), Supp(f) ⊂ U} = +∞
(続く)