命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

任意の f ∈ I+(X) (>>119) に対して
∫[X] f dμ = sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) }

証明
μ-可測な集合全体を Φ とする。

S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限(過去スレ007の448)
ではない場合。
>>8 より、∫[X] f dμ = +∞ である。

>>130 より Φ上の単関数(過去スレ007の371) g で 0 ≦ g ≦ f となり、
∫[X] g dμ = +∞ となるものが存在する。

g = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n, a_i ＞ 0,
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。
μ(E_i) = +∞ となる E_i がある。
任意の x ∈ E_i に対して g(x) = a_i ≦ f(x) である。
>>128 より、sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) } = +∞

よって、この場合、本命題は成り立つ。

(続く)